已知抛物线y^2=2px……追加 在线等

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 01:26:53
已知抛物线y^2=2px，p>0 O为顶点，A（x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上的两动点，且OA垂直于OB,C为AB中点，求C点的轨迹方程

设C（x，y）
因C为AB中点
故x1+x2=2x ①
y1+y2=2y ②
因OA垂直于OB
即向量OA垂直于向量OB
OA·OB=0
即x1x2+y1y2=0 ③
因A，B在抛物线上
故y1^2=2px1， y2^2=2px2
消去x1，x2
得：(y1y2)²/(4p)²+y1y2=0
显然y1y2≠0
故(y1y2)/(4p)²+1=0
即y1y2=-4p²
这样2x=x1+x2=（y1^2+y2^2）/(2p)
=[（y1+y2）^2-2y1y2]/(2p)
=(4y²+8p²)/(2p)
整理即得：
y²+p²=px
即C点的轨迹方程为y²+p²=px